DESVIACIÓN ESTÁNDAR

La desviación estándar (σ) mide cuánto se separan los datos. La fórmula es fácil: es la raíz cuadrada de la varianza. Así que, "¿qué es la varianza?"

Varianza

La varianza (que es el cuadrado de la desviación estándar: σ2) se define así: Es la media de las diferencias con la media elevadas al cuadrado. Se puede expresar de la siguiente manera:

Donde () representa la varianza, (Xi) representa cada uno de los valores, () representa la media poblacional y (N) es el número de observaciones ó tamaño de la población. 

Por tanto, ya sabiendo qué significa varianza, concluimos que la desviación estándar se representa así:

Para comprender el concepto de las medidas de distribución vamos a suponer que el gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto varían los pesos de los empaques (en gramos), de uno de sus productos; por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos. Los productos tienen los siguientes pesos (490, 500, 510, 515 y 520) gramos respectivamente.

Por lo que su media es:

La varianza sería:

Por lo tanto la desviación estándar sería:

Con lo que concluiríamos que el peso promedio de los empaques es de 507 gramos, con una tendencia a variar por debajo o por encima de dicho peso en 12 gramos.

Utilizaremos otro ejemplo: Sea una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

xi	61	64	67	70	73
fi	5	18	42	27	8

Calcular:

1 La moda, mediana y media.

2 El rango, desviación media, varianza y desviación típica.

xi	fi	Fi	xi · fi	|x − x |	|x − x | · fi	xi2 · fi
61	5	5	305	6.45	32.25	18 605
64	18	23	1152	3.45	62.1	73 728
67	42	65	2814	0.45	18.9	188 538
71	27	92	1890	2.55	68.85	132 300
73	8	100	584	5.55	44.4	42 632
	100		6745		226.5	455 803

Moda

Mo = 67

Mediana

100/2 = 50 Me = 67

Media

Desviación media

Rango

r = 73 − 61 = 12

Varianza

Desviación típica

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Las medidas de tendencia central nos indican en torno a qué valor (centro) se distribuyen los datos.

Las medidas de centralización son:

MODA

La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta.

Se representa por Mo.

Se puede hallar la moda para variables cualitativas y cuantitativas.

MEDIANA

Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos están ordenados de menor a mayor.

La mediana se representa por Me.

La mediana se puede hallar sólo para variables cuantitativas.

MEDIA ARITMÉTICA

La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total de datos. Ẋ      es el símbolo de la media aritmética.

Modelos matemáticos de las Medidas de tendencia central

	Datos no agrupados	Datos de serie	Agrupados por intervalos
Moda	Variable de mayor frecuencia	Variable de mayor frecuencia	m°=liCr + (Δ1/ Δ1+    Δ2)C
Mediana	N/2	N/2	Me=liCr + (N/2-(Σf)1/fMe)C
Media aritmética	Ẋ=ᵑΣi=1 x1/N	Ẋ=ᵑΣi=1 f1x1/ Ẋ=ᵑΣi f1	Ẋ=ᵑΣi=1 f1x1/ Ẋ=ᵑΣi f1

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

HALLAR LA MODA DE LA DISTRIBUCIÓN:

2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 Mo= 4

Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa frecuencia es la máxima, la distribución es bimodal o multimodal, es decir, tiene varias modas.

1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9Mo= 1, 5, 9

Cuando todas las puntuaciones de un grupo tienen la misma frecuencia, no hay moda.

2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9

Si dos puntuaciones adyacentes tienen la frecuencia máxima, la moda es el promedio de las dos puntuaciones adyacentes.

0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8  Mo = 4

1º Todos los intervalos tienen la misma amplitud.

m°=liCr + (Δ1/ Δ1+    Δ2)C

Li es el límite inferior de la clase modal.

fi es la frecuencia absoluta de la clase modal.

fi--1 es la frecuencia absoluta inmediatamente inferior a la en clase modal.

fi-+1 es la frecuencia absoluta inmediatamente posterior a la clase modal.

ai es la amplitud de la clase.

También se utiliza otra fórmula de la moda que da un valor aproximado de ésta:

m°=liCr + (Δ1/ Δ1+    Δ2)C

Ejemplo

Calcular la moda de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

x	fi
[60, 63)	5
[63, 66)	18
[66, 69)	42
[69, 72)	27
[72, 75)	8
Σ	100

Mo=66+(42-18)/(42-18)+(42-27)*3=67.8

CÁLCULO DE LA MEDIANA

1 Ordenamos los datos de menor a mayor.

2 Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación centralde la misma.

2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6Me= 5

3 Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales.

7, 8, 9, 10, 11, 12Me= 9.5

Cálculo de la mediana para datos agrupados

La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta lamitad de la suma de las frecuencias absolutas.

Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N/2.

Me=li+(N/2-f1-1)/f1*a1

Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.

 N/2 es la semisuma de las frecuencias absolutas.

Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.

ai es la amplitud de la clase.

La mediana es independiente de las amplitudes de los intervalos.

Ejemplo

Calcular la mediana de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

	fi	Fi
[60, 63)	5	5
[63, 66)	18	23
[66, 69)	42	65
[69, 72)	27	92
[72, 75)	8	100
Σ	100

100 / 2 = 50

Clase modal: [66, 69)

Me=66+(50-23/42)*3=67.93

Los pesos de seis amigos son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Hallar el peso medio.

Ẋ=84+91+72+68+87+78/6=80KG

MEDIA ARITMÉTICA PARA DATOS AGRUPADOS

Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la media es:

Ẋ=X1f1+X2f2+X3f3+….+Xnfn/N

EJERCICIO DE MEDIA ARITMÉTICA

En un test realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las puntuaciones que muestra la tabla. Calcula la puntuación media.

	xi	fi	xi · fi
[10, 20)	15	1	15
[20, 30)	25	8	200
[30,40)	35	10	350
[40, 50)	45	9	405
[50, 60	55	8	440
[60,70)	65	4	260
[70, 80)	75	2	150
Σ		42	1 820

Ẋ=1820/42=43.33

FORMA DE CONSTRUIR TABLAS POR INTERVALOS

Ejemplo:

Tomando la información  del peso de los alumnos del grupo 506, del Cobao  04 “El Tule”, se describen los siguientes pasos.

1.       Tomar nota del peso en kg de los alumnos y obtenemos lo siguiente

n° de alumno	peso en kg.
1	69
2	87
3	70
4	60
5	63
6	60
7	54
8	57
9	52
10	67
11	60
12	58
13	55
14	45
15	59
16	50
17	55
18	56
19	63
20	65
21	63
22	70
23	54
24	53
25	56
26	68
27	63
28	55
29	87
30	65
31	61
32	45
33	63
34	69
35	46
36	85

  DIAGRAMA DE HOJA Y TALLO

4	556
5	7285905634365
6	903073358350339
7	00
8	7075

4	556
5	03345556678
6	000133333557899
7	00
8	0577

Intervalo de clase	Intervalo de clase
Li -ls	li-ls
42-50 <-	42-49
50-58 <-	50-57
58-66<-	58-65
66-74<-	66-73
74-82<-	74-81
82-90<-	82-89

LiCr= Li+Ls CA/2= 42+41/2=41.5

LsCr= Ls+ Licp/2= 49+50/2=49.5

Intervalo de frecuencia

Intervalo	f
41.5-49.5	3
49.5-57.5	11
57.5-65.5	12
65.5-73.5	6
73.5-81.5	0
81.5-89.5	3

                                                                                                                                                 

2.       RANGO

Dmayor- Dmenor

R= 87-45 = 42

3.       NUMERO DE CATEGORÍA

REGLA DE STURGES

M=1+33 Log N

N= 36

M= 1+  33 Log 36

M= 6

4.       INTERVALO

I=R/M

I= 42/6 = 7≈ 8

5.       NUEVO RANGO

NR= IM

NR= 6(8)= 48

6.       EXCEDENTE

NR-R= 48-42 = 6

NUEVO DATO MAYOR

NUEVO DATO MENOR

NDmayor= 87+3= 90

NDmenor=45-3=42