MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Las medidas de tendencia central nos indican en torno a qué valor (centro) se distribuyen los datos.

Las medidas de centralización son:

MODA

La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta.

Se representa por Mo.

Se puede hallar la moda para variables cualitativas y cuantitativas.

MEDIANA

Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos están ordenados de menor a mayor.

La mediana se representa por Me.

La mediana se puede hallar sólo para variables cuantitativas.

MEDIA ARITMÉTICA

La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total de datos. Ẋ      es el símbolo de la media aritmética.

Modelos matemáticos de las Medidas de tendencia central

	Datos no agrupados	Datos de serie	Agrupados por intervalos
Moda	Variable de mayor frecuencia	Variable de mayor frecuencia	m°=liCr + (Δ1/ Δ1+    Δ2)C
Mediana	N/2	N/2	Me=liCr + (N/2-(Σf)1/fMe)C
Media aritmética	Ẋ=ᵑΣi=1 x1/N	Ẋ=ᵑΣi=1 f1x1/ Ẋ=ᵑΣi f1	Ẋ=ᵑΣi=1 f1x1/ Ẋ=ᵑΣi f1

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

HALLAR LA MODA DE LA DISTRIBUCIÓN:

2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 Mo= 4

Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa frecuencia es la máxima, la distribución es bimodal o multimodal, es decir, tiene varias modas.

1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9Mo= 1, 5, 9

Cuando todas las puntuaciones de un grupo tienen la misma frecuencia, no hay moda.

2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9

Si dos puntuaciones adyacentes tienen la frecuencia máxima, la moda es el promedio de las dos puntuaciones adyacentes.

0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8  Mo = 4

1º Todos los intervalos tienen la misma amplitud.

m°=liCr + (Δ1/ Δ1+    Δ2)C

Li es el límite inferior de la clase modal.

fi es la frecuencia absoluta de la clase modal.

fi--1 es la frecuencia absoluta inmediatamente inferior a la en clase modal.

fi-+1 es la frecuencia absoluta inmediatamente posterior a la clase modal.

ai es la amplitud de la clase.

También se utiliza otra fórmula de la moda que da un valor aproximado de ésta:

m°=liCr + (Δ1/ Δ1+    Δ2)C

Ejemplo

Calcular la moda de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

x	fi
[60, 63)	5
[63, 66)	18
[66, 69)	42
[69, 72)	27
[72, 75)	8
Σ	100

Mo=66+(42-18)/(42-18)+(42-27)*3=67.8

CÁLCULO DE LA MEDIANA

1 Ordenamos los datos de menor a mayor.

2 Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación centralde la misma.

2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6Me= 5

3 Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales.

7, 8, 9, 10, 11, 12Me= 9.5

Cálculo de la mediana para datos agrupados

La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta lamitad de la suma de las frecuencias absolutas.

Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N/2.

Me=li+(N/2-f1-1)/f1*a1

Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.

 N/2 es la semisuma de las frecuencias absolutas.

Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.

ai es la amplitud de la clase.

La mediana es independiente de las amplitudes de los intervalos.

Ejemplo

Calcular la mediana de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

	fi	Fi
[60, 63)	5	5
[63, 66)	18	23
[66, 69)	42	65
[69, 72)	27	92
[72, 75)	8	100
Σ	100

100 / 2 = 50

Clase modal: [66, 69)

Me=66+(50-23/42)*3=67.93

Los pesos de seis amigos son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Hallar el peso medio.

Ẋ=84+91+72+68+87+78/6=80KG

MEDIA ARITMÉTICA PARA DATOS AGRUPADOS

Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la media es:

Ẋ=X1f1+X2f2+X3f3+….+Xnfn/N

EJERCICIO DE MEDIA ARITMÉTICA

En un test realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las puntuaciones que muestra la tabla. Calcula la puntuación media.

	xi	fi	xi · fi
[10, 20)	15	1	15
[20, 30)	25	8	200
[30,40)	35	10	350
[40, 50)	45	9	405
[50, 60	55	8	440
[60,70)	65	4	260
[70, 80)	75	2	150
Σ		42	1 820

Ẋ=1820/42=43.33